Leandro Rigon
Veterano |
# jan/11 · Editado por: Leandro Rigon
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Muitos anos atrás eu fiz um curso de teoria musical, e uma das curiosidades que eu tive foi a questão de como determinar qual nota tem qual frequência. Então resolvi pesquisar um pouco e tentar acrescentar algo ao que já foi escrito aqui. Questões como a parte do "temperamento" já foram colocadas em postagens anteriores, então serei um pouco mais superficial. Vou colocar referências a vários sites e o que eu considerar mais importante vou transcrever aqui entre aspas.
DENOMINAÇÃO DAS NOTAS - DO RE MI FA SOL LA SI
Hoje todo mundo sabe que existem 7 notas musicais: dó, ré, mi, fá, sol, lá e si, porém quase ninguém sabe como surgiram tais nomes para essas notas. "Estes nomes foram atribuídos a Guido de Arezzo, que foi um músico italiano que viveu no século XI. Naquele tempo, as notas musicais não possuíam nomes, fato este que levava a uma natural dificuldade aos aprendizes em memorizar o som das notas. Devido a isto, Guido imaginou um processo mnemônico, onde descobriu que um certo hino de louvor a São João Baptista continha justamente as sete notas fundamentais. Como este hino era muito popular na época pois diziam ser muito eficaz contra dor de garganta, Guido fazia seus alunos decorarem este hino para melhorar a execução das notas. Extraindo as iniciais de cada verso, Guido obteve a sequência UT, RÉ, MI, FÁ, SOL, LÁ, SI, a qual estabelecia a gama. Foi somente seis séculos mais tarde (século XVII), que o papa João Baptista Doni substituiu a nota "UT" por "DÓ" (de DOni)." ( http://www.cdcc.usp.br/ondulatoria/musica1.html )
Ut queant laxis
Re sonare fibris
Mira gestorum
Famuli torum
Solve polluti
Labii reatum
Sancte Iohannes.
Obs.: Tradução do Hino: "Para que teus servos possam exaltar a plenos pulmões as maravilhas dos teus milagres perdoa a falta do lábio impuro Ó São João"
FREQUÊNCIA
É a medida do número de vibrações por segundo de um corpo elástico, como a corda de um violão ou outro instrumento qualquer. Essa medida se faz em hertz (Hz). Se a corda do violão, por exemplo, produzir 440 vibrações por segundo, estaremos ouvindo a nota Lá, e poderemos afirmar que este som tem 440 Hz.
O La3 acabou se tornando referência para a afinação de todo e qualquer instrumento, e se convencionou que ele tem 440hz. Na verdade, em uma Conferência Internacional em Londres, em 1953, se padronizou que o la3 tem essa frequência. Uma curiosidade é que o tom de discagem de um telefone é exatamente o La 440hz. Portanto, na falta de um diapasão, é possível utilizar o telefone para a afinação de praticamente qualquer instrumento (eu uso para afinar violino). Porém, nada é absoluto, e há referências do la3 como tendo 435hz ou ainda outras frequências próxima a isso.
O ouvido humano pode captar frequências de 20 vibrações por segundo (20hz) até 20.000hz. O que está abaixo de 20hz é denominado infrassom, e acima de 20.000hz, ultrassom.
CÁLCULO DA FREQUÊNCIA DAS NOTAS
Foi Pitágoras que fez os primeiros cálculos para determinar a proporção entre as notas. "Pitágoras teria esticado uma corda musical que produzia um determinado som que tomou como fundamental, o tom. Fez marcas na corda que a dividiam em doze secções iguais. Tocou a corda na 6ª marca e observou que se produzia a oitava. Tocou depois na 9ª marca e resultava a quarta. Ao tocar a 8ª marca, obtinha-se a quinta. As fracções 1/2, 3/4, 2/3 correspondiam à oitava, à quarta e à quinta". ( http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/musica/pitagoras.ht m ).
O primeiro ponto fundamental é que a proporção entre a frequência de uma nota e sua oitava é dois. Se num instrumento musical for tocada uma corda solta, se produzirá um som. Se a corda for dividida exatamente na sua metade, o novo som produzido será o do dobro da frequência do som da corda solta. Se o som da corda solta fosse o la3, teria 440hz, se pressionada na metade, seria o la4, que são 880hz. O cálculo inverso também é válido: o la 2 tem 220hz, ou seja, a metade da frequência do la 3, o la1 tem 110hz, la0 tem 55hz, la-1 27,1hz.
"A Escala Musical é uma sucessão de gamas, cada uma constituída de um certo número de notas musicais. No mundo ocidental, a escala mais utilizada é a Escala Zarlin, constituída por gamas de sete notas, cujas frequências são proporcionais aos números:" Do = 24, Re = 27, Mi = 30, Fa = 32, Sol = 36, La = 40, Si = 45, Do = 48. (Música: Uma Visão Interdisciplinar, 9º Capitulo: Acústica e Música, da Autora Maria José de Abreu Guimarães).
A partir dessas proporções, através de simples regra de três é possível determinar a frequência das demais notas.
Ex.1: Qual a frequência do Re3?
Se la3 é 440hz, monta-se a seguinte regra de 3: de uma lado, re3 sobre la3, e de outro a proporção dos números mencionados acima, re sobre la:
re3/la3 = 27(re)/40(la)
re3/440hz = 27(re)/40(la), multiplica cruzado:
40xRe3 = 27x440
40xRe3 = 11180
Re3 = 11180/40
Re3 = 297 Hz.
O sistema de resolução acima resolve o cálculo das 7 notas: dó, ré, mi, fá, sol, lá, e si, porém não das notas bemolizadas e sustenizadas. Para sustenizar a nota, a frequência da nota natural deve ser multiplicada pela fração 25/24, e a nota bemolizada deve ser multiplicada pela fração 24/25, ou seja, trocando o numerador com o denominador e vice-versa.
Ex.2: Qual a frequência do Fa#3?
Se la3 é 440hz, monta-se a seguinte regra de 3: de uma lado, Fa3 sobre la3, e de outro a proporção dos números mencionados acima, fa sobre lá:
Fá3/la3 = 32(fá)/40(la)
Fá3/440hz = 32(fá)/40(la), multiplica cruzado:
40xFá3 = 32x440
40xFá3 = 14080
Fá3 = 14080/40
Fá3 = 352 Hz.
Fa#3 = fa3x25/24
Fa#3 = 352x25/24
Fa#3 = 8800/24
Fa#3 = 366,66Hz
Ex.3: Qual a frequência do do1?
Há 2 procedimentos possíveis: 1) Ou faz o mesmo cálculo acima e se descobre o Do3, e depois divide-se por 2 e acha-se o Do2, e divide-se por 2 e acha-se o Do1 (ou divide direto por 4), ou 2) Se la3 é 440hz, la2 é 220 e la1 é 110hz. Então monta-se a regra de 3: de uma lado, Do1 sobre Lá1, e de outro a proporção dos números mencionados acima, Do sobre lá:
Dó1/lá1 = 24(dó)/40(lá)
Dó1/110hz = 24(dó)/40(lá), multiplica cruzado:
40xDó1 = 24x110
40xDó1 = 2640
Dó1 = 2640/40
Dó1 = 66 Hz.
Esse era o único sistema que eu tinha conhecimento, e é o mais simples. Depois localizei várias fontes na net que jogam uma tabela diferenciada, como a do site http://www.cdcc.usp.br/ondulatoria/musica2.html , que indica a seguinte tabela:
Do = f, Re = 9f/8, Mi = 5f/4, Fa = 4f/3, Sol = 3f/2, La = 5f/3, Si 15f/8, Do = 2f.
O sistema de cálculo seria o mesmo, e se tiverem paciência verificarão que dá no mesmo a tabela numérica em que o Do = 24 ou a que o Do = f.
Ex.4: Determinando Dó3:
Do = f, Lá = 5f/3
Do3 = f, Lá3 = 5f/3
Lá3 = 5f/3
440 = 5f/3 - isolando f:
440x3 = 5f
1320 = 5f
f = 1320/5
f = 264
Como Do = f, então Do3 = 264hz.
Porém é possível também se realizar o cálculo se utilizando de logarítimos, o é bem mais preciso. Os cálculos acima na verdade são aproximações. Então vale a pena ver os comentários anteriores mais profundos e também ler as citações abaixo.
Segundo o site http://www.myriad-online.com/resources/docs/melody/portugues/microtone .htm , "Uma regra física mostra-nos que a frequência para a mesma nota tocada uma oitava acima será o dobro. Por exemplo, o Lá5 terá 880 Hz.
Deste modo, dividir uma oitava em 12 intervalos equidistantes na escala logarítmica, significa que a frequência de cada nota é a do semitom precedente multiplicada por 1.059463094359.
Isto significa que o Lá# (ou Sib) da 4ª oitava será de 440 x 1.059463094359 = 466.16 Hz
Do mesmo modo, o Láb (ou Sol#) da 4ª oitava será de 440 / 1.059463094359 = 415.3 Hz
Graças a isto, podemos calcular todas as frequências para cada semitom na 4ª oitava (e por extensão, em todas as oitavas porque somente temos que multiplicar ou dividir estas frequências por 2 para obter os valores das oitavas adjacentes):
* Dó 4 : 261.63 Hz
* Dó 4 sustenido (ou Ré 4 bemol) : 277.18 Hz
* Ré 4 : 293.66 Hz
* Ré 4 sustenido (ou Mi 4 bemol) : 311.13 Hz
* Mi 4 : 329.63 Hz
* Fá 4 : 349.23 Hz
* Fá 4 sustenido (ou Sol 4 bemol) : 369.99 Hz
* Sol 4 : 392 Hz
* Sol 4 sustenido (ou Lá 4 bemol) : 415.3 Hz
* Lá 4 : 440 Hz
* Lá 4 sustenido (ou Si 4 bemol) : 466.16 Hz
* Si 4 : 493.88 Hz
(Fim da citação do site http://www.myriad-online.com/resources/docs/melody/portugues/microtone .htm )
Como qualquer coisa que vá além da matemática básica está além da minha capacidade, vou citar um texto que explica a realização dos cálculos, que está contido no site http://www.profezequias.net/harmonia.html
Como pode ocorrer do link um dia ser desativado, para preservar o conteúdo vou citar abaixo o texto do referido site:
(Início da citação)
"O que a Matemática tem a ver com a Música? A Música é um tipo de "ciência exata"? A Matemática é uma forma de "arte"?
Os gregos antigos denominavam a música de "números em movimento".
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), matemático alemão, afirmou que: "A Música é um exercício de Aritmética secreto e aquele que a ela se entrega às vezes ignora que maneja números".
Michael Peter Balzary (2007), mais conhecido como FLEA, baixista da banda de rock Red Hot Chili Peppers comentou: "Aprendi algo ótimo outro dia. Em 600 anos antes de Cristo, os primeiros estudos de Matemática estavam todos relacionados à Música. Eram os únicos estudos matemáticos, pitagóricos e todos relacionados à música. A medição dos intervalos etc. Não é legal?"
De fato, o matemático grego Pitágoras (sec. VI a.C.), um dos pioneiros da teoria musical ocidental, estudando a geração dos sons, usando determinadas frações do tamanho original de uma corda (1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2/1), observou que duas cordas vibrantes, cujos comprimentos estivessem na razão de 1 para 2, soariam com a mesma nota.
Atualmente sabemos que a razão das frequências dos sons emitidos por essas cordas seria a razão inversa dos seus comprimentos, ou seja, de 2 para 1 e que duas cordas vibrantes produzem som com a mesma nota se e só se a razão de seus comprimentos é uma potência inteira de base 2.
A frequência da nota lá fundamental ou padrão (o lá central do piano) é 440 Hz e a frequência do lá seguinte (uma oitava acima), mais agudo, é 880 Hz (Hz é a abreviatura de hertz, unidade de frequência que significa ciclo por segundo).
A escala musical ocidental, a partir de Andreas Werkmeister (1645 - 1706) e Johann Sebastian Bach (1685 - 1750), denominada de escala cromática (ou temperada), divide esse intervalo em doze semitons iguais, isto é, tais que a razão (divisão) das frequências de notas consecutivas é constante. Essas notas se sucedem na ordem LÁ , LÁ# , SI , DÓ , DÓ#, RÉ , RÉ# , MI , FÁ , FÁ# , SOL , SOL# , LÁ, ... (o símbolo # é chamado de sustenido).
Considerando log 2 = 0,3010 , log 1,059 = 0,0250 , calcule:
a) as frequências dessas notas, o primeiro LÁ sendo o LÁ fundamental.
b) a frequência do sinal de discar de um telefone, que é o primeiro SOL# anterior ao LÁ fundamental.
c) a nota cuja frequência é 185 Hz.
Solução: a) Como a razão (quociente) das frequências de notas consecutivas é constante, a sequência procurada é uma Progressão Geométrica de 13 termos, onde o primeiro termo a1 = 440. Então, o décimo terceiro termo desta PG é a13 = 440q12 = 880, onde q é a razão. Daí, vem que q12 = 880 / 440 = 2 , o que implica na razão q ser igual a raiz duodécima de 2, ou seja, q = 21/12.
Pela definição de logaritmos, temos que 1/12 é o logaritmo de q na base 2. Mudando da base 2 para a base 10, segue que: 1/12 = log2q = log q / log 2. Então, log q = 0,3010 / 12 = 0,0250 aproximadamente. Como log 1,059 = 0,0250 = loq q, chegamos a conclusão que a razão q = 21/12 = 1,059 aproximadamente.
Assim, a PG procurada é: 440 ; 440×21/12 ; 440×22/12 ; 440×23/12 ; 440×24/12 ; 440×25/12 ; 440×26/12 ; 440×27/12 ; 440×28/12 ; 440×29/12 ; 440×210/12 ; 440×211/12 ; 440×212/12.
Logo, as frequências são, aproximadamente, LÁ = 440Hz ; LÁ# =466Hz ; SI = 494Hz ; DÓ = 523Hz ; DÓ# = 554Hz ; RÉ = 587Hz ; RÉ# = 622Hz ; MI = 659Hz ; FÁ = 698Hz ; FÁ# = 740Hz ; SOL = 784Hz ; SOL# = 831Hz ; LÁ = 880Hz.
Este procedimento é usualmente denominado de interpolação geométrica (interpolação de 11 meios geométricos entre 440 e 880), onde, interpolar é o mesmo que inserir ou intercalar.
b) A frequência da nota SOL# anterior ao LÁ fundamental é 440 / 22/12 = 440 / 1,059 = 416Hz. Logo, a frequência do SOL anterior ao LÁ fundamental é 416 / 22/12 = 416 / 1,059 = 392Hz aproximadamente.
De outro modo (mais rápido), como a frequência do SOL posterior ao LÁ fundamental é 784Hz, vem que o SOL anterior ao LÁ padrão é 784 / 2 = 392Hz.
c) Se f = 185Hz, então 2f = 370Hz tem a mesma nota que f. De modo análogo, 3f = 555Hz tem a mesma nota que f. Logo, 4f = 740Hz também tem a mesma nota. Como a frequência da nota FA# é 740Hz, concluimos que a nota cuja frequência é 185Hz é FA#.
(Fim da Citação do site http://www.profezequias.net/harmonia.html )
Outro site extremamente interessante que repete as ideias acima é o
http://maurilioalberto.spaces.live.com/?_c11_BlogPart_BlogPart=blogvie w&_c=BlogPart&partqs=cat%3DM%25c3%25basica
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